一、傅里葉變換

　　傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)城種很重要的算法。傅里葉表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理的傅里葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅里葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。

　　因此，可以說(shuō)，傅里葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)城信號(hào)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)：

　　1.傅里葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；

　　2.傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；

　　3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取；

　　4.著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；

　　5.離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT））。

　　正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

　　二、傅里葉變換的意義

　　眾所周知，我們一直將傅里葉級(jí)數(shù)、博里葉變換、FFT看作是向頻譜空間的變換，這從其三角級(jí)數(shù)的形式本身可以看出，當(dāng)然對(duì)于復(fù)數(shù)形式，我們也可以借助量子力學(xué)解釋，其展開(kāi)函數(shù)正是動(dòng)量的本征函數(shù)，因此傅里葉變換正是向動(dòng)量空間的變換，而我們知道動(dòng)量空間實(shí)際上與頻率空間是一致的。事實(shí)上，正是由于傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換、FFT所具有的這個(gè)物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應(yīng)用。

　　而另一方面，我們從傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例子中可以明顯地看到它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)的思路無(wú)外乎以下兩點(diǎn)：

　　（1）將復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干簡(jiǎn)單的問(wèn)題求解；

　　（2）將糾纏的問(wèn)題通過(guò)變換分離開(kāi)來(lái)；

　　（3）如果我們拋開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)法、傅里葉變換本身，面儀從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們便可以看到傅里葉級(jí)數(shù)法，博里葉變換的更深層次的意義。它為我們提供了一種解決問(wèn)題的思路，如果我們可以用不同的變換方法將復(fù)雜的問(wèn)題分解化，將糾細(xì)的問(wèn)題分離化，我們就可以用這種變換來(lái)處理問(wèn)題。

　　三、傅里葉變換的應(yīng)用

　　1.模板運(yùn)算與卷積定理

　　在時(shí)域內(nèi)做模板運(yùn)算，實(shí)際上就是對(duì)圖像進(jìn)行卷積。模板運(yùn)算是圖像處理一個(gè)很重要的處理過(guò)程，很多圖像處理過(guò)程，比如增強(qiáng)/去噪（這兩個(gè)分不清楚），邊緣檢測(cè)中普遍用到。根據(jù)卷積定理，時(shí)域卷積等價(jià)與頻域乘積。因此，在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像做模板運(yùn)算就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像做濾波處理。

　　比如說(shuō)一個(gè)均值模板，其頻域響應(yīng)為一個(gè)低通濾波器；在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像作均值濾波就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像用均值模板的頻域響應(yīng)對(duì)圖像的頻域響應(yīng)作一個(gè)低通濾波。