導(dǎo)讀：1.一維流動(dòng)的質(zhì)量守恒；2.連續(xù)方程的一般形式；3.連續(xù)方程的分析與應(yīng)用。

一維流動(dòng)的質(zhì)量守恒

首先來(lái)看一下一維流動(dòng)中的質(zhì)量守恒，質(zhì)量守恒決定了，在流動(dòng)中任意流體微團(tuán)的質(zhì)量都應(yīng)該保持不變。數(shù)學(xué)表達(dá)式是這樣的： 其中質(zhì)量與密度和體積的乘積來(lái)表示。因?yàn)樵诹黧w力學(xué)中，通常用來(lái)表示速度，這里用B來(lái)表示體積。很顯然，這種表達(dá)式是拉格朗日方法，是針對(duì)一個(gè)流體微團(tuán)的。 

現(xiàn)在來(lái)看看流體力學(xué)的歐拉法中的質(zhì)量守恒。在這樣一個(gè)一維流動(dòng)中，取中間一段作為控制體流體，從左邊流入右邊流出。

 

根據(jù)質(zhì)量守恒可知，控制體內(nèi)質(zhì)量的增加等于流入的質(zhì)量減去流出的質(zhì)量 這就是質(zhì)量守恒在歐拉法中的表現(xiàn)形式。 當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，控制體內(nèi)的質(zhì)量保持不變，于是可知，任意時(shí)刻流入控制體的質(zhì)量等于流出控制體的質(zhì)量： 

這里的m表示了單位時(shí)間流過(guò)的質(zhì)量，稱(chēng)為流量。我們通過(guò)這樣一個(gè)圖來(lái)看看流量與流速的關(guān)系。 

 

對(duì)于定常流動(dòng)單位時(shí)間流過(guò)進(jìn)口和出口截面的質(zhì)量相等，質(zhì)量等于密度與體積的乘積。在直徑大和直徑小的地方，同樣體積的流體所占流向長(zhǎng)度是不同的，這個(gè)流向長(zhǎng)度與時(shí)間的比值就是當(dāng)?shù)氐牧魉�。于是我們就得出了流量的表達(dá)式：通過(guò)橫截面的質(zhì)量流量等于密度、橫截面積和流速三者的乘積，而體積流量等于橫截面積和流速的乘積。 

質(zhì)量守恒在流體力學(xué)中體現(xiàn)為流量連續(xù)，所以稱(chēng)為連續(xù)方程：  當(dāng)流動(dòng)為不可壓縮時(shí)，密度不變，連續(xù)方程可以表示為：   

連續(xù)方程的一般形式

現(xiàn)在來(lái)看看連續(xù)方程的一般形式。既三維復(fù)雜流動(dòng)中的質(zhì)量守恒，在流場(chǎng)中取這樣一個(gè)任意的控制體，其表面稱(chēng)為控制面:

 

根據(jù)質(zhì)量守恒，單位時(shí)間控制體內(nèi)質(zhì)量的減少，應(yīng)該等于流出控制體的質(zhì)量。于是我們可以寫(xiě)出連續(xù)方程的積分形式的表達(dá)式：

 

這種積分形式適用于做理論分析，如果要具體計(jì)算流場(chǎng)參數(shù)需要用到微分形式，所以我們現(xiàn)在來(lái)針對(duì)微小的控制體推導(dǎo)連續(xù)方程。取這樣一個(gè)六面體為控制體。

 

在六個(gè)面上流體可以流入和流出在左側(cè)面和下側(cè)面上進(jìn)入的流量表達(dá)式為 而右側(cè)面和上側(cè)面上流量的表達(dá)式用相應(yīng)的一階泰勒展開(kāi)表示： 由于控制體體積不變，控制體內(nèi)單位時(shí)間質(zhì)量減少就體現(xiàn)為密度的減少： 而根據(jù)圖中所示，左右兩個(gè)側(cè)面上的流量之差是凈流出的質(zhì)量： 于是，我們可以得到所有六個(gè)面上的凈流出量： 質(zhì)量的減少等于凈流出量，于是就可以得出我們所需要的關(guān)系是： 體積項(xiàng)  可以消去，就得到連續(xù)方程的表達(dá)式： 這個(gè)表達(dá)式是分量形式的，可以簡(jiǎn)化寫(xiě)成矢量形式： 其中的  是拉普拉斯算子，而  稱(chēng)為密流，即單位面積的流量。

連續(xù)方程的分析與應(yīng)用

現(xiàn)在我們來(lái)分析一下連續(xù)方程在具體應(yīng)用時(shí)的特點(diǎn)。首先，這個(gè)方程的第一項(xiàng)表示了控制體內(nèi)密度的變化，當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，這一項(xiàng)應(yīng)該為零。于是我們得到定常流動(dòng)的連續(xù)方程，即密流的散度為零： 進(jìn)一步可以得到一維定常流動(dòng)的連續(xù)方程:當(dāng)流動(dòng)維不可壓時(shí)，得到一維定常不可壓流動(dòng)的連續(xù)方程： 也就是說(shuō)，一維定常不可壓流動(dòng)中流速沿流向保持不變。可是這個(gè)推導(dǎo)是不是有問(wèn)題呢？很顯然。對(duì)于因?yàn)槭湛s通道內(nèi)的流速沿流向是增加的。

 

這個(gè)推導(dǎo)是看不出問(wèn)題的。其實(shí)，問(wèn)題在于收縮通道的流動(dòng)不是一維流動(dòng)。在工程上把它當(dāng)作一維流動(dòng)處理，把另外兩位的速度變化用面積變化來(lái)表現(xiàn)了。

從連續(xù)方程還可以進(jìn)行這樣的變換，把對(duì)密度和速度的微分展開(kāi)成兩項(xiàng)： 可以看出。這個(gè)式前兩項(xiàng)是密度的隨體導(dǎo)數(shù)，而連續(xù)方程可以寫(xiě)成這樣： 因?yàn)槿珜?dǎo)數(shù)表示的是流體微團(tuán)密度的變化，所以這是拉格朗日法的連續(xù)方程。這種形式的聯(lián)系方程的物理意義也是很明確的，流體微團(tuán)的質(zhì)量變化可以認(rèn)為有密度和體積兩種因素，這個(gè)連續(xù)方程里面的第一項(xiàng)表示了密度的變化，第二項(xiàng)表示了體積的變化。由于流體微團(tuán)質(zhì)量保持不變，所以密度增加，體積必然減小，反之亦然。

從拉格朗日法的連續(xù)方程還可以得出，不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程，就是速度的散度為零： 物理意義是流體微團(tuán)的體積變化為零。

我們?cè)賮?lái)看一下，所謂因?yàn)槭湛s通道的流動(dòng)，這次加上不可壓的條件來(lái)分析收縮通道中部一點(diǎn)處的速度變化情況。

 

在這一點(diǎn)的鄰域取一個(gè)微小的控制體，其上下左右各面的速度如圖所示。左右側(cè)面只有x方向的速度，右側(cè)面的速度比左側(cè)面大，上下表面速度的x分量相同，y分量大小相等方向相反。于是可知u沿x方向是增加的，而v沿y方向是減小的。

 

把二維不可壓連續(xù)方程寫(xiě)出來(lái)： 可以看出和流場(chǎng)分析是一致的，這兩項(xiàng)的符號(hào)必然相反，而且大小應(yīng)該相等。從這里我們可以看出x方向速度的增加，伴隨著y方向速度的減小，所以收縮流動(dòng)至少是二維的，而不可能是一維的。

現(xiàn)在來(lái)看看壓縮性的影響，當(dāng)流動(dòng)為可壓縮時(shí)，連續(xù)方程中的密度會(huì)改變，低速流動(dòng)中的密度的變化相對(duì)較小，因此收縮就加速在定性上總是正確的。當(dāng)氣體以超音速流動(dòng)時(shí)，密度的變化很大，比速度的變化量還要大，也就是說(shuō)這時(shí)速度增加一倍，密度會(huì)減小的比一半還小，所以面積以速度的關(guān)系就反過(guò)來(lái)了。超音速氣流通過(guò)擴(kuò)張通道時(shí)才會(huì)加速。

 

歷史上，瑞典工程師拉瓦爾在研究沖擊式渦輪的時(shí)候，采用收縮擴(kuò)張的管道，成功讓氣流從亞音速加速到了超音速。于是，這種管道就被稱(chēng)為拉瓦爾噴管。

 

再來(lái)看看不可壓和非定常的關(guān)系。這是不可壓連續(xù)方程： 在推到它時(shí)，并沒(méi)有假設(shè)定常流動(dòng)。所以這個(gè)三維方程包括它的一維形式，對(duì)定常和非定常都成立的。

比如這個(gè)模型中，不可壓時(shí)，流體密度不變，所以容腔內(nèi)的流體質(zhì)量保持不變，于是可知那一瞬間進(jìn)出口的流量相等，可以說(shuō)，單看總流量的話不可壓縮流動(dòng)只能是定常的。

 

接下來(lái)我們看一個(gè)流動(dòng)的例子，假設(shè)有一輛行駛中的汽車(chē)缺了一塊玻璃，而其余各處密封都完好不漏氣。

 

分前窗側(cè)，窗和后窗三種情況來(lái)考慮�？諝馐橇鬟M(jìn)來(lái)還是流出去？從經(jīng)驗(yàn)判斷，前窗缺玻璃時(shí)，氣體流入；后窗缺玻璃時(shí)氣體流出。是這樣嗎？汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)速度不高，屬于不可壓縮流動(dòng)，可以用不可壓縮連續(xù)方程來(lái)判斷這個(gè)問(wèn)題。只有一個(gè)開(kāi)口，無(wú)論開(kāi)口朝什么方向，流體都應(yīng)該是不進(jìn)也不出。雖然這似乎和感覺(jué)不同，但這就是連續(xù)方程給出的結(jié)果。那為什么坐在窗子邊會(huì)有很大的風(fēng)吹進(jìn)來(lái)呢？這其實(shí)是流動(dòng)的非定常性造成的，因?yàn)榉嵌ǔＰ匀笨谟锌赡芤话肓鞒鲆话肓魅搿?BR>

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)河流的例子。假設(shè)這是一條沒(méi)有支流的河上游，坡度大，下游坡都想那么在圖中的A點(diǎn)和B點(diǎn)哪里流速快呢？這個(gè)很好判斷坡度大的地方流速快。那么哪里河道寬呢？

 

這個(gè)可以用連續(xù)方程來(lái)判斷流速小的地方需要的橫截面積大，一般河面會(huì)寬。所以在這個(gè)例子中，流體的橫截面積是由流體速度決定的。

對(duì)于封閉管道內(nèi)的流動(dòng)橫截面積是由管道決定的�？磥�(lái)似乎面積的收縮是流體加速的原因了。

 

然而很顯然，流體遵從牛頓定律加速一定是受到了驅(qū)動(dòng)力的作用。粗的地方壓力高，細(xì)的地方壓力低。流體微團(tuán)流經(jīng)收縮通道時(shí)，是從壓力高的地方流向壓力低的地方，相當(dāng)于微團(tuán)背后的壓力大于前胸的壓力，被推著加速前進(jìn)，這就是驅(qū)動(dòng)力了。所以流體加速是壓力差的驅(qū)動(dòng)造成的。